Die Bibliothek und Gödel
Betrachtungen über Permutationen, Endlichkeit, die Größe des Universums, Gödelisierung, holographische Speicher und exponenzielles Wachstum.

Zweites Axiom: Die Anzahl der orthographischen Symbole ist fünfundzwanzig.[1] Diese Feststellung ermöglichte es vor dreihundert Jahren, die allgemeine Theorie der Bibliothek in Worte zu fassen, und das Problem, das keine Konjektur entschlüsselt hatte, befriedigend zu lösen: die formlose und chaotische Beschaffenheit nämlich fast aller Bücher.

Diese Beispiele setzten einen genialen Bibliothekar instand, das Fundamentalgesetz der Bibliothek zu entdecken. Und zwar stellte dieser Denker fest, dass sämtliche Bücher, wie verschieden sie auch sein mögen, aus den gleichen Elementen bestehen: dem Raum, dem Punkt, dem Komma, den zweiundzwanzig Lettern des Alphabets. Auch führte er einen Umstand an, den alle Reisenden bestätigt haben: In der ungeheuer weiträumigen Bibliothek gibt es nicht zwei identische Bücher. Aus diesen unwiderleglichen Prämissen folgerte er, dass die Bibliothek total ist und dass ihre Regale alle irgend möglichen Kombinationen der zweiundzwanzig und soviel orthographischen Zeichen (deren Zahl, wenn auch außerordentlich groß, nicht unendlich ist) verzeichnen, mithin alles, was sich irgend ausdrücken lässt: in sämtlichen Sprachen.

I Anzahl der Bücher

Jedes der Bücher hat 410 Seiten mit jeweils 40 Zeilen je 80 Zeichen. Damit besteht ein einzelnes Buch aus einer Gesamtzahl von 1.312.000 Zeichen. Davon ausgehend, dass nur die oben erwähnten 25 Symbole verwendet werden und die Annahme zugrundelegend, dass die Bibliothek alle möglichen Permutationen von Ketten aus genau 1.312.000 Zeichen über dem Alphabet enthält, kommt man auf eine Gesamtzahl von 251.312.000 möglichen Permutationen oder Büchern.

Rechnen wir dies in die gewöhnliche wissenschaftliche Darstellung um. Wir wollen die Gleichung

251.320.000 = 10x

lösen, also

log10 ( 251.320.000 ) = x

ausrechnen.

Für das Rechnen mit Logarithmen gilt:

loga ( xn ) = n loga ( x ),

also gilt in unserem Fall

log10 ( 251.320.000 ) = 1.320.000 log10 ( 25 ),

woraus für x als ganzzahligen Wert

x = 1.845.281

folgt.

Die Anzahl der Permutationen (und damit auch die Anzahl der Bücher) beträgt damit etwa 101.845.281; die Ungenauigkeiten durch das rigorose Aufrunden der Kommastellen sollen uns nicht stören - wie wir noch sehen werden, stoßen wir in der Bibliothek schnell in Zahlenbereiche vor, die jenseits aller Vorstellungskraft liegen.

II Größe der Bibliothek

Den Beschreibungen im Manuskript von Borges folgend nehmen wir an, jedes Sechseck der Bibliothek habe eine Grundfläche von 50 m2 und eine Höhe von 2 m - damit nimmt jedes Sechseck ein Volumen von 100 m3 ein.[2] An jeweils vier der sechs Wände sind fünf Regale angebracht, von welchen jedes 32 Bücher aufzunehmen vermag; demnach beträgt die Gesamtzahl aller Bücher in jedem Sechseck 640. Die Gesamtzahl aller Bücher ist 101.845.281. Diese Zahl ist jenseits aller Vorstellungen anzusiedeln und mathematisch absolut unhandlich - versuchen wir daher, sie in den Griff zu bekommen.

Mit 640 = 102,806, was wir mit 103 nach oben abschätzen, beläuft sich die Gesamtzahl der Sechsecke der Bibliothek, um alle Bücher unterzubringen, auf immerhin noch 101.845.278. Die Zahlen, mit denen wir es hier zu tun haben, sind so aberwitzig groß, dass eine Änderung der Potenz selbst um Tausende nicht ins Gewicht viele. Versuchen wir es daher auf anderem Wege.

Wenn jedes dieser Sechsecke ein Volumen von ca. 100 m3 einnimmt, so besitzt die Bibliothek ein Gesamtvolumen von 101.845.278 100 = 101.845.280 m3. Offenbar ist Kubikmeter eine Einheit, die für die Berechnungen dieses Problems einfach unpraktisch ist. Rechnen wir daher das Gesamtvolumen der Bibliothek in Kubiklichtjahre um. Ein Lichtjahr entspricht der Strecke, die das Licht mit einer Geschwindigkeit von rund 300.000 km/s innerhalb eines Jahres zurücklegt. Damit entspricht ein Lichtjahr einer Strecke von 300.000 km/s (60 sec 60 min 24 h 365 d) = 9,4608 1012 km. Dementsprechend nimmt ein Würfel mit einer Kantenlänge von einem Lichtjahr ein Volumen von 8,468 1038 km3, was wir gegen 1039 km3 nach oben abschätzen, ein. Die Bibliothek würde damit ein Volumen von 101.845.232 Kubiklichtjahren beanspruchen.

Auch damit kommen wir nicht weiter. Wenn wir uns die Größe der Bibliothek vergegenwärtigen wollen, müssen wir den Exponenten irgendwie kleinkriegen. Welche anderen Größenmaßstäbe können wir anwenden, um die Größe der Bibliothek abzuschätzen? Wie steht es mit der Größe des uns bekannten Universums? Nehmen wir an, unser Universum sei kugelförmig mit einem Radius von 93 Milliarden Lichtjahren.[3] Dementsprechend hätte es ein Volumen von

4/3 PI r3 = 4 1032 Kubiklichtjahren.

Teilen wir das Volumen der Bibliothek durch das Volumen des Universums und wir erhalten

2,5 101.845.199

mal die Größe unseres Universums.

Spätestens an dieser Stelle beginnt einem zu dämmern, welche Ausmaße die Bibliothek wirklich hat - unser gesamtes Universum ist fast zwei Millionen Größenordnungen kleiner als die Bibliothek. Nein, Augenblick - die Betonung muss anders lauten: unser gesamtes Universum ist fast zwei Millionen Größenordnungen kleiner als die Bibliothek. Das heißt, unser Universum ist fast Eine-Zwei-gefolgt-von-einer-Million-Nullen mal kleiner.

Zum Vergleich: Eine der kleinsten Strukturen in unserem Kosmos (der Kern des Wasserstoffs mit einem Durchmesser von 10-15 m) ist grob gesagt 43 Größenordnungen kleiner als das Universum mit einem Durchmesser von etwa 1028 m. Aber selbst dieser Größenunterschied ist einfach lächerlich, wenn man die Größen unseres Universums und der Bibliothek miteinander vergleicht.

III Gödelisierung

Machen wir uns also daran, die gewaltigen Bestände der Bibliothek zu katalogisieren. Zugegeben, das ist sicher kein besonders sinnvolles Unterfangen, da der größte Teil der Bücher nur bedeutungslosen Buchstabensalat enthält. Trotzdem haben wir es uns in den Kopf gesetzt, die Bücher in irgendeiner Form zu ordnen. Wie gehen wir vor?

Unsere Aufgabe besteht darin, ein Codierungsverfahren zu entwickeln, mit dessen Hilfe wir jedes Buch eindeutig auf seine Codenummer abbilden und umgekehrt jeder Codenummer genau ein bestimmtes Buch zuordnen. Für ein solches Verfahren bieten sich Primzahlen an. Die Primfaktorzerlegung einer jeden natürlichen Zahl ist nämlich eindeutig, d.h. die Abbildung, die jeder natürlichen Zahl ihre Primfaktorzerlegung zuordnet, ist bijektiv. Wir machen uns nun ein Verfahren zunutze, dass von Kurt Gödel entwickelt worden ist. Diese sogenannte Gödelisierung unserer Bücher funktioniert wiefolgt:

Wir ordnen jeder der 1.312.000 Stellen eines typischen Buches der Bibliothek eine Primzahl zu. Praktischerweise listen wir die ersten 1,3 Millionen uns bekannten Primzahlen daher von der kleinsten bis zur größten auf, beginnend mit 2. Der ersten Stelle weisen wir die erste Primzahl, der zweiten Stelle die zweite Primzahl zu usw. bis zur 1.312.000ten Stelle, der wir die 1.312.000te Primzahl auf unserer Liste zuordnen.[4] Jetzt müssen wir in unser Verfahren Informationen darüber eingehen lassen, mit welchem der 25 Symbole die x-te Stelle beschrieben ist. Wir ordnen jedem unserer Symbole eine Zahl zu. Dem Leerzeichen ordnen wir die 0 zu, dann kommen die 22 Buchstaben (etwa A B D E F G H I K L M N O P Q R S T V X Y Z)[5] an die Reihe: A erhält die 1, B die 2 usw. Zum Schluss ordnen wir dem Komma die 23 und dem Punkt die 24 zu, womit wir jedem möglichen Zeichen genau eine Zahl zugeordnet haben.

Die Information, mit welchem der 25 Zeichen des Alphabets die Stelle x belegt ist, codieren wir, indem wir für das i-te Symbol an der x-ten Stelle die x-te Primzahl zur i-ten Potenz nehmen. Machen wir das an einem Beispiel fest: Nehmen wir willkürlich den Satz O ZEIT, DEINE PYRAMIDEN. Diese Zeichenfolge hat 23 Stellen (Leerzeichen werden auch als Zeichen gezählt!), so dass wir zur Gödelisierung die ersten 23 Primzahlen benötigen. Diese lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83.

Die vollständige Information unseres Satzes wird jetzt codiert, indem wir für jedes Zeichen die entsprechende Primzahl mit der Codenummer des betreffenden Zeichens potenzieren. Die erste Stelle (Primzahl: 2) trägt ein O (Codenummer: 13), daher bilden wir 213. An zweiter Stelle (Primzahl: 3) steht ein Leerzeichen (Codenummer: 0), daher berechnen wir 30 usw. Nachdem wir die entsprechenden Ausdrücke für alle 23 Stellen berechnet haben, bilden wir das Produkt - damit haben wir dann nämlich nichts anderes als die Primfaktorzerlegung einer Zahl vorliegen, die den zugrundeliegenden Satz eindeutig codiert.

Das Ergebnis der Multiplikation

213 30 522 74 118 1318 1723 190 233 294 318 3712 414 430 4714 5321 5916 611 6711 718 733 794 8312

ist die gesuchte Gödelnummer unseres Satzes. Sie lautet in wissenschaftlicher Darstellung: 2,153889... 10286. Es sollte uns nicht verwundern, dass auch diese Zahl wieder sehr groß ist.

Wir haben hier eine nur 23 Stellen umfassende Zeichenfolge codiert. Es ist klar, dass die entsprechenden Gödelnummern für Zeichenketten der Länge 1.312.000 (der Inhalt eines Buches) noch viel größer werden. Allerdings liefert uns das Verfahren der Gödelisierung zumindest eine prinzipielle Möglichkeit, alle Bücher der Bibliothek von Babel aufzuzählen.

Ein interessanter Aspekt unserer (nicht ganz willkürlichen) Codierung der 25 Zeichen ist, dass das eine Buch, das von der ersten bis zur letzten Zeile nur aus Leerzeichen besteht, die Gödelnummer 1 erhält, denn alle 1.312.000 Primzahlen werden mit 0 potenziert. Von da ausgehend, können wir uns eine Reihenfolge der Bücher ausdenken und sie vom ersten bis zum letzten (dessen Inhalt aus genau 1.312.000 Punkten besteht) durchnummerieren. Das nächste Buch nach der 1 könnte zum Beispiel dasjenige Buch sein, das bis auf ein A an der ersten Stelle der ersten Zeile der ersten Seite nur Leerzeichen enthält (seine Gödelisierung ist dann

21 30 50 ...,

die Gödelnummer lautete nach unserem Verfahren 2), dann das Buch, das an erster Stelle ein B hat, gefolgt von 1.311.999 Leerzeichen (Gödelisierung:

22 30 50 ...,

Gödelnummer: 4).[6]

Das Buch, das mit unserem Beispielsatz O ZEIT, DEINE PYRAMIDEN beginnt und danach 1.311.977 Leerzeichen enthält, hat genau die oben ausgerechnete Gödelnummer. Aber spätestens jetzt ist klar, dass dies nicht das einzige Buch mit diesem Satz ist. Da die Bibliothek total ist, gibt es auch ein Buch, das mit einem Leerzeichen an der ersten Stelle in Zeile 1 auf Seite 1 beginnt, gefolgt von O ZEIT, DEINE PYRAMIDEN, gefolgt von 1.311.976 Leerzeichen. Die Gödelnummer dieses bis auf eine unbedeutende Abweichung mit ersterem identische Buch muss jedoch neu berechnet werden, denn: die Primzahl der ersten Stelle (2) wird potenziert mit der Codenummer des entsprechenden Zeichens (hier ein Leerzeichen, also Codenummer 0). Die folgenden 23 Primzahlen werden dann wieder mit den entsprechenden Codenummern der 23 Zeichen unseres Beispielsatzes potenziert, nur ist dann das Produkt dieser Zahlen, also unsere Gödelnummer, eine andere. Das Verfahren von Gödel erlaubt zwar eine Aufzählung aller Bücher, ist aber einerseits sehr aufwändig und hat andererseits den gravierenden Nachteil, dass ähnliche Bücher nicht notwendigerweise eng miteinander in Beziehung stehende Gödelnummern haben müssen (dies wird wahrscheinlich auf so gut wie keine Bücher zutreffen, auch wenn sie praktisch identisch sind).

Der Inhalt beider Bücher ist also identisch, wir haben lediglich einige Zeichen um eine Stelle verschoben (und noch nicht einmal Zeichen vertaucht oder durch ganz andere ersetzt). Fassen wir Bücher mit identischem, aber gegebenenfalls verschobenem Inhalt zu Gruppen zusammen, die wir Translationsgruppen nennen wollen. Alle Bücher einer gemeinsamen Translationsgruppe haben denselben Inhalt insofern, als die Zeichen in derselben Reihenfolge auftauchen (wir wollen O ZEIT, DEINE PYRAMIDEN nur im Buch hin und her schieben, aber nicht ZME,YDOI TDIN ENE IE oder etwas ähnliches daraus machen; auch soll der Rest wie im Originalbuch nur aus Leerzeichen bestehen). Wir können uns das auch so vorstellen: wir verrücken im Buch, das auf Seite 1 mit O ZEIT, ... beginnt den Satz um eine Stelle nach rechts und machen dasselbe mit allen folgenden Leerzeichen. Das letzte Leerzeichen auf der letzten Seite in der letzten Zeile rutscht dann nicht aus dem Buch heraus, sondern auf den ersten Platz in Zeile 1 auf Seite 1 - so, als wären die 1.312.000 Zeichen eines jeden Buches als Ring angeordnet. Wie gross sind die jeweiligen Translationsgruppen? Natürlich besteht jede Gruppe aus genau 1.312.000 Büchern, denn wir haben genau so viele Möglichkeiten, den Inhalt eines Buches wie auf einem Ring zu verschieben.[7]

Borges legt in seiner Geschichte nahe, dass die Bücher willkürlich über die Bibliothek verteilt und nicht etwa zum Beispiel in der Reihenfolge ihrer Gödelnummern sortiert sind.[8] Daher ist anzunehmen, dass auch alle 1,3 Millionen Bände einer jeden Translationsgruppe willkürlich über die riesige Bibliothek verteilt sind. Jetzt wird auch klar, warum der Erzähler eher gelassen auf die Versuche der Fundamentalisten reagierte, die Bücher zu vernichten - die Bibliothek ist so gewaltig, dass praktisch immer eine ausreichende Zahl an Büchern mit identischem Inhalt irgendwo außerhalb ihrer Reichweite (vielleicht viele Millionen Lichtjahre entfernt) überdauert. Hinzu kommt noch der Umstand, dass neben den Büchern ihrer jeweiligen Translationsgruppe noch Bücher existieren, die sich in nur einigen wenigen Stellen unterschieden, also fast genau denselben Wortlaut haben. Wie gross ist deren Zahl? Nun, das läßt sich nicht ohne weiteres sagen, denn es kommt darauf an, wieviele Zeichen innerhalb eines Buches ausgetauscht oder verwürfelt werden können, ohne dass die Lesbarkeit des Textes beeinträchtigt wird. Das wiederum hängt sicher vom Inhalt des Textes ab - ein Buch mit vielen technischen oder wissenschaftlichen Ausdrücken und Fremdwörtern hat wahrscheinlich eine höhere Chance, auch bei großer Unordnung der Buchstaben noch entziffert zu werden (DESOXYRIBONUKLEINSÄURE zum Beispiel ist ein so spezieller Begriff, dass man ihn auch noch erkennen würde, wenn viele seiner Zeichen durcheinandergeraten).

IV Bevölkerung

Welche Chance hätte eine hypothetische Menschheit in der Bibliothek, jemals alle literarischen Schätze zu heben, die ganz unzweifelhaft vorhanden sind? Der Zustand der höchstmöglichen Information über den Inhalt aller Bücher der Bibliothek erreichen wir nur dann, wenn wir tatsächlich jeden einzelnen Band gelesen haben. Das kann ein Mensch unmöglich leisten, ist aber auch nicht notwendig. In unserer realen Welt gibt es auch kein einzelnes Individuum, das alle Bücher sämtlicher Bibliotheken[9] kennen würde. Es reicht völlig aus, wenn die Menschheit als Ganzes alle Bücher kennt. Borges hat etwas ähnliches angedeutet, als er davon sprach, dass in früheren Zeiten jeweils ein Mann auf drei Sechsecke kam. Erweitern wir die Pfichten der Bibliothekare umstandslos auch auf den weiblichen Teil der Bevölkerung, machen somit dem männlichen Chauvinismus ein Ende und schwärmen aus in die Tiefen der Bibliothek. Zusätzlich zur sofortigen Verdopplung der Anzahl der Bibliothekare fällt uns nach einiger Zeit auf, dass wir gar nicht bis in den letzten Winkel der (sehr, sehr großen aber endlichen (sic!)) Bibliothek vordringen müssen, um alle ihre Inhalte zu kennen. Bereits im letzten Abschnitt hatten wir bemerkt, dass es eine riesige Anzahl an Büchern mit fast identischem Inhalt gibt (dazu gewaltige Mengen als Variationen und nicht ganz fehlerfreien Plagiaten), die unserer Annahme zufolge zufällig über die Bibliothek verteilt sind. Damit ähnelt die Bibliothek von Babel einem holographischen Speicher: jeder Teil von ihr enthält alle Informationen des Ganzen.[10] Die Totalität der Bibliothek führt zu einer gewaltigen Redundanz der in ihr enthaltenen Informationen. Daher ist es gar nicht notwendig, die ganze Bibliothek mit Menschen zu bevölkern, sondern lediglich einen großen Teil. Wenn es zu jedem Buch (wohlgemerkt: zu jedem!) 1.311.999 identische Bücher gibt (identisch bis auf Translationen des Inhalts), die annähernd zufällig über den Raum verteilt sind, so müssten die Menschen der Bibliothek auch nur etwa einen Millionsten Teil des gesamten Raumes besiedeln, um aller ihrer Schätze habhaft zu werden. Statt in jedes der 101.845.000 Sechsecke einen Bibliothekar zu schicken[11], brauchen wir nur ein Millionstel dieser Menge zu besiedeln. Leider sind das immer noch etwa 101.844.994 Sechsecke. Bevor wir uns geschlagen geben und engültig vor der riesigen Bibliothek kapitulieren, führen wir unsere letzte Waffe ins Feld: exponentielles Wachstum. Die Bibliothek ist endlich, folglich kann sie bei annähernd konstantem Wachstum der Menschheit in endlicher Zeit[12] zur Gänze besiedelt werden (was nicht einmal notwendig wäre). Wie lange würde die Besiedelung dauern? Bei einer angenommenen Wachstumsrate der Menschheit von 2% jährlich (was deutlich mehr ist als das durchschnittliche Wachstum der westlichen Welt, aber weniger als etwa auf dem indischen Subkontinent oder im Nahen Osten), gilt es die folgende Gleichung zu lösen:

(1,02)x = 101.845.000.

Die Variable x ist die Zeit in Jahren, die vergeht, bis die Anzahl der Menschen vergleichbar ist mit der Anzahl der Sechsecke der Bibliothek. Es gilt:

x = log1,02 ( 101.845.000 ),
demnach
x = 1.845.000 log1,02 ( 10 ),
ergo
x = 1.845.000 log10 ( 10 ) / log10 ( 1,02 )
und damit
x = 214.536.600.

Bei exponentiellem Wachstum, wenn also die Wachstumsrate konstant bleibt, kann die Bibliothek in etwa 200 Millionen Jahren annähernd vollständig besiedelt werden.[13] Dieser Zeitraum ist sicherlich sehr groß, aber doch erheblich kürzer als etwa die Zeit, seit der Leben auf der Erde existiert. Sie ist auch sehr viel kürzer als die bisherige Lebensdauer unseres Universums, vom kosmologischen Standpunkt aus gesehen also überschaubar. Hier manifestiert sich wieder einmal die Mächtigkeit exponentiell anwachsender Prozesse. Die Bibliothek von Babel ist um Millionen Größenordnungen größer als unser Universum, und trotzdem kann ein ungebremstes Bevölkerungswachstum in einem überschaubaren Zeitrahmen diesen Platz völlig aufbrauchen.